La rotation Varimax pour une meilleure lecture de la carte ACP

Pour synthétiser les réponses données à un ensemble de questions numériques, identifier les variables appartenant au même univers et en définir les dimensions structurantes, l’utilisation des Analyses en Composantes Principales est une nécessité. La carte qui en résulte est affinée grâce à l’application de la rotation Varimax, dont nous exposons l’intérêt plus loin.

Rappels méthodologiques sur les ACP

Les ACP (Analyses en Composantes Principales) appartiennent à la famille des analyses factorielles qui consistent à synthétiser les données issues d’un croisement entre plusieurs variables numériques. Ces données sont contenues dans un fichier de grande dimension, ayant en ligne des individus et en colonne des caractéristiques quantitatives.

Les variables étudiées sont projetées sur un ensemble d’axes indépendants. Chaque axe permet de prendre connaissance d’une partie plus ou moins importante de l’information contenue dans le tableau initial ; la globalité des axes permet d’appréhender l’information entière. Il est à noter que les 1er et 2ème axes sont ceux qui restituent le maximum d’information, ils sont identifiés automatiquement par les logiciels d’analyse de données.

Prenons un exemple pour illustrer ces propos.

Dans l’étude européenne sur les rapports entre consommation et culture menée en 2010 (projet COBEREN), il a été demandé aux répondants d’indiquer les raisons pour lesquelles ils consommaient leur boisson préférée. Une série d’items lui ont été proposés et ils devaient s’y positionner via une échelle de 4 niveaux avec une mention supplémentaire « je ne sais pas ».

Les questions se présentaient comme suit :

 Figure 1 : Items proposés

L’Analyse en Composantes Principales réalisée montre l’existence de deux groupes de variables :

  • Le 1er comporte les items Absence de risque, Bonne santé, Rapport qualité prix, S’hydrater.
  • Le 2ème comprend les items Etre différent, Etre à la mode, Faire comme les amis, Exprimer ses valeurs, Etre de bonne humeur, …

Figure 2 : Carte ACP sans rotation Varimax

Pour mieux identifier la structure reliant les deux groupes (variables opposées ou appartenant à des dimensions différentes), la rotation Varimax montre son utilité.

Qu’est-ce que la rotation Varimax ?

Les axes de projection sont des combinaisons linéaires[1] des variables étudiées. Ces dernières contribuent avec des poids différents à la formation des axes. Par exemple si la contribution des variables X1, X3, X5 est élevée sur l’axe 1, elle peut être faible sur l‘axe 2. Ce dernier peut être expliqué plus principalement par la variable X6.

La rotation Varimax consiste à associer chacune des variables à un nombre réduit de facteurs et à représenter chaque facteur par un nombre limité de variables. Visuellement les variables sont rapprochées des axes auxquels elles contribuent de manière à en faciliter l’interprétation.

 

Dans l’exemple précédent, la carte obtenue après application de la rotation Varimax montre que les groupes de variables constituent deux dimensions à part entière puisque le 1er groupe est proche de l’axe 1 (horizontal) et le 2ème groupe de l’axe 2 (vertical).

Figure 3 : Carte ACP avec rotation Varimax

Il est donc possible de conclure que les mobiles qui incitent les gens à choisir telle ou telle boisson appartiennent à deux ordres différents : la dimension fonctionnelle résumant l’effet de la boisson sur le bien-être de la personne et la dimension sociale marquant l’appartenance de l’individu à un groupe social qui partage les mêmes préférences et les mêmes valeurs.

Apport de la rotation Varimax

Comme nous pouvons le constater, l’application de la rotation Varimax aide à identifier la contribution des variables à la formation des axes factoriels. Ceci permet de tirer, d’une manière rapide et synthétique, des conclusions sur les dimensionnalités des variables, évitant tout biais lié à la qualité de la projection et à la synthèse des données.


[1] De type Y = aX1 + bX2 + cX3 + dX4 + eX5 + fX6 + constante.

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